Ejercicios de Álgebra

Hallar los valores de $k \in \mathbb{R}$ que verifican $$\begin{vmatrix}2 & 1 \ |k-2| & k\end{vmatrix} < 13$$

Demostrar que si $a, b, x, y, d \in \mathbb{Z}$ y $ax + by = d$, entonces $(a, b) | d$.

Hallar $(a, b)$, si $a$ y $b$ son enteros que verifican: $7a + 2b = 35$, $a$ y $b$ no son coprimos y $5 \mid b - 2$.

Dada la matriz $A = \begin{bmatrix}0 & -2 & k-1 & 0 \ -k & -1 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & k & 0 & k-1\end{bmatrix}$
(a) Para qué valores de $k$ la matriz $A$ tiene inversa?
(b) Si $A$ es la matriz ampliada correspondiente a un sistema de ecuaciones lineales. Analizar para qué valores de $k$ el sistema es Compatible Indeterminado, Compatible Determinado e Incompatible.

Analizar si la siguiente afirmación es verdadera o falsa. Justificar:
La proposición $\forall x \in \mathbb{R}: \frac{3x - 1}{2x} < 2 \leftrightarrow x < 1$ es verdadera.

Analizar si la siguiente afirmación es verdadera o falsa. Justificar:
Si $(2, ab) = p$, $p$ primo y $b$ es impar, entonces $a$ es par.

Analizar si la siguiente afirmación es verdadera o falsa. Justificar:
Si $A, B \in M_{3}(\mathbb{R})$ son tales que $|A| = 3$ y $|A^{-1}B| = 2$, entonces $|B| = \frac{3}{2}$.

Analizar si la siguiente afirmación es verdadera o falsa. Justificar:
El sistema homogéneo cuya matriz de coeficientes es $\begin{bmatrix}-3 & 4 & 0 & 0 \ -6 & 8 & 0 & 0 \ 3 & -4 & 0 & 0 \ -\frac{3}{2} & 2 & 0 & 4\end{bmatrix}$

es compatible indeterminado y su conjunto solución es ${(x, -\frac{3}{4}x, 0, 0), x \in \mathbb{R}}$.

Analizar si la siguiente afirmación es verdadera o falsa. Justificar:
Si la matriz $A$ es inversible, entonces $kA$ es inversible para todo $k \neq 0$.

(a) Definir producto de matrices.
(b) Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar:
(i) Sean $A$ y $B$ matrices cuadradas de orden $n$ tales que $B$ es inversible. Si $|A \cdot B^{-1}| = 0$ entonces el sistema $AX = 0$ es compatible indeterminado.
(ii) Si $A$ es una matriz cuadrada de orden $n$ y tiene una fila nula entonces $|A| = 0$.
(iii) Si $A, B \in M_{3}(\mathbb{R})$ son tales que $|A| = 3$ y $|A^{-1}B| = 2$, entonces $|B| = \frac{3}{2}$.

Dada la matriz
$$B = \begin{bmatrix}0 & -2 & k-1 & 3 \ -k & -1 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 & 1 \ 6 & k & 0 & k\end{bmatrix}$$
(a) Hallar los valores de $k$ para que $|B| = 6 - 3k$.
(b) Para qué valores de $k$ la matriz $B$ tiene inversa?

Si $A = \begin{bmatrix}1 & -1 & a-1 & 1 \ a & -a & 0 & a \ 0 & 1 & 2 & -1 \ 0 & b & 2b & 2\end{bmatrix}$ es la matriz de coeficientes del sistema $AX = \begin{bmatrix}1 \ a \ -1 \ 2\end{bmatrix}$
Analizar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar:
(a) Existen valores de $a$ y $b$ que hacen al sistema incompatible.
(b) El sistema es compatible indeterminado únicamente si $a = 0$ y $b = -2$.
(c) Si $a = 0$ y $b = 1$ la solución del sistema es ${(-z, -2z, z, 1), z \in \mathbb{R}}$.

Sea $P(x) \in \mathbb{C}[x]$ tal que $(-1 + i)$ es raíz doble y $2i | P(x)$.
(a) Hallar todos los polinomios $P(x)$ no mónicos de grado mínimo. Expresar el polinomio no factorizado.
(b) Si $P(x) \in \mathbb{R}[x]$, ¿Cuál es el grado mínimo?

Resolver las siguientes inecuaciones y dejar expresado el resultado como intervalo:
(a) $\frac{(-|2-4x|)(x - 3)}{x^{2} + 3} \leq 0$
(b) $\frac{-(x - 2)}{-3x + 6} > 0$

Decidir si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos:
(a) Si $p$ es un número primo, $(18 \cdot a, -3 \cdot b^{2}) = p$, $(18, p) = 1$ entonces $(a, b) \neq 1$.
(b) Si el resto de dividir a $c$ por $24$ es $5$ entonces existe $p$ primo tal que $p | (-2c + 4)$.

Sea
$$A = \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \ k & 0 & 1 \ 1 & 1+k &k\end{bmatrix}$$
la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales y
$$B = \begin{bmatrix}1 \ 0 \ k + 1\end{bmatrix}$$
la matriz de términos independientes:
(a) Analizar la compatibilidad del sistema dado.
(b) ¿En qué cambia la solución si el sistema es homogéneo?

(a) Dado el polinomio
$$P(x) = \frac{1}{2}x^{6} - x^{5} - \frac{1}{2}x^{4} + 2x^{3} - \frac{5}{2}x^{2} + 3x - \frac{3}{2}$$
escribirlo como productos de polinomios de grado $1$.
(b) Dar $P(x) \in \mathbb{E}[x]$, polinomio mónico, tal que $0$ sea raíz triple, $1$ sea raíz simple y sea divisible por $(x + 2)$. Indicar, sin realizar cuentas, cuál es el término independiente de $P(x)$.

Hallar los valores de $x \in \mathbb{R}$ tal que $-m^{2} \leq \left\lvert \frac{x - m}{x ^{2} - m^{2}} \right\rvert \leq m$ donde $m \in \mathbb{R}$, $m \geq 1$.

Analizar si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos:
(a) Si $x | 16$, $(4, y) = 1$ y $x | 4y^{2}$ entonces $x | 4$.

(c) Existen enteros $a, b$ tales que $13a + 15 = b$ y $(a, b) = 4$.

(d) Si $A \subseteq B$ entonces $(A - B^{\prime})^{\prime} \cap A = \emptyset$.

Dado el sistema
$$22 \left{
\begin{array}{ll}
x + 3y - z + 2w = 1 \
2x + 6y - z + 4w = a + 5 \
3x + 9y - 2z + 6w = a^{2} + a - 3
\end{array}
\right.$$
(a) Clasificarlo para los distintos valores de $a$ en reales.
(b) Hallar el conjunto solución para un valor de $a$ para el cual el sistema resulta CI.

Dado $P(x) \in \mathbb{R}[x]$ con
$$P(x) = (x^{2} + m x + n)(2x^{6} + 3x^{5} + 4x^{4} + 9x^{3} - 6x^{2})$$
y sabiendo que $1 - \sqrt{2} , i$ es raíz de $P(x)$, escribirlo como producto de polinomios de grado 1.

Dada la proposición:
Existen números reales $X$ e $Y$ que verifiquen $x < y$ e $x^2 > y^2$.
Expresar en forma simbólica.
Analizar su valor de verdad y justificar.
Negar y simplificar la proposición.

Dados conjuntos $A$, $B$ y $C$, probar que si $B \cap C = \emptyset$ entonces $((A \cup B) \cap C) \subseteq A$.

Resolver las siguientes inecuaciones:
(a) $\frac{2x - 3}{4x + 1} < 5$
(b) $|\frac{2x}{3} - 1| \leq 4x + 3$
(c) $-8(x - 5)^2 \leq -72$

Definir qué son los números primos y el teorema fundamental de la aritmética.

Dado $a \in \mathbb{Z}$, hallar $\text{mcd}(a; (a + 5))$ sabiendo que el módulo es distinto de 1.

Demostrar que dos números enteros $a$ y $b$ son relativamente coprimos si $a | n$ y $b | n$ entonces $a \cdot b | n$.

Dado el sistema de ecuaciones:
$$\begin{cases}4x + 2y + z - 3w = 4 \6x - 2y + 6z + 10w = -4 \2x - 3y + 2z + (12 - k^2)w = -4 - k \4x + y + 4z + (k^2 - 2)w = k\end{cases}$$
Hallar los valores de $k$ para que el sistema sea:
- Compatible Determinado (CD)
- Compatible Indeterminado (CI)
- Incompatible (I)
¿Hay valores de $k$ para que la solución sea $(7, 10, 7, 0)$?
Resolver el sistema con $k = -1$.

Graficar $z \in \mathbb{C}$ tal que:
- $-|z| + 5 \geq 2$
- $\pi \leq \arg(z) \leq \pi$
- $|\text{Im}(z)| \leq 2$

Si $a + bi$ es raíz simple de $f(x)$ y $b \neq 0$, ¿entonces su conjugado también es raíz? Justificar.

Buscar polinomios de grado mínimo que:
1. $f(x)$ tal que $x \in \mathbb{R}$, $-1$ raíz doble y $1 + i$ raíz simple. ¿Existe un único polinomio que satisfaga estas condiciones? Justificar.
2. Lo mismo que en el inciso anterior, pero $f(x) \in \mathbb{C}$.

(a) Dados los conjuntos $A, B \times X$, probar que $A \cap B = \emptyset$ entonces $(X \cup A) \cap B \subseteq X$.
(b) ¿Es cierto que si $A \times B$ son conjuntos cualesquiera se verifica que $A \subseteq B \Rightarrow P(A) = P(B)$?

(a) Resolver utilizando interpretación geométrica y expresar en términos de valor absoluto la siguiente expresión:
$$x \leq 1 \lor x \geq 5$$
(b) Analizar si la proposición $\forall x \in \mathbb{R}$ tal que $|2x - 2| < x \Leftrightarrow x \in \left( \frac{2}{3}, 1 \right)$ es falsa.